Nous abordons maintenant les voyages interplanétaires qui constituent l'une des plus grandes aventures humaines du 20ème siècle, dans la recherche de l'origine de l'univers et plus particulièrement de la vie terrestre ou extra-terrestre. Ces voyages peuvent concerner une planète, un astéroïde ou une comète. Tous ces corps du système solaire, présentant chacun un intérêt spécifique, sont donc des cibles privilégiées.

Les années 2000-2100 verront probablement l'homme conquérir la planète Mars, qui semble la plus facile à "coloniser".

I HISTORIQUE SUCCINCT :

• Il n'est pas possible de passer en revue toutes les missions réalisées à ce jour. On peut cependant rappeler les principales étapes de l'exploration et de l'étude des planètes ou de l'environnement solaire. Les encyclopédies de tout type fourniront de manière exhaustive les renseignements souhaités. Les site suivants rappellent l'essentiel des missions passées : http://www.cam.org/~lafleur
• 12 septembre1959 : La sonde soviétique LUNA II atteint la lune en 36 heures
• 4 octobre 1959 : Premières photos de la face cachée de la lune par LUNA III
• 31 janvier 1966 : Premier alunissage en douceur
• 1966-1973 : Préparation des vols Apollo par les missions américaines LUNA ORBITER
• 1970 : Première sonde soviétique VENERA 7 qui explore l'atmosphère de Vénus
• 3 mars 1972 : Envoi de PIONEER 10 vers Jupiter survolée en décembre 1973
• 5 avril 1973 : Envoi de PIONEER 11 vers Jupiter, planète utilisée pour un tremplin vers Saturne survolée en décembre 1979, PIONEER 10 survole Jupiter en décembre 1973
• 29 mars 1974 : Lancement de MARINER 10 pour une visite de Mercure, avec utilisation d'un tremplin gravifique assisté par Vénus
• 1972-1975 : Avec les sondes VENERA 9 et 10 en 1975, sur le sol de Vénus, viendront les premières photographies du sol
• 1976 : Récupération de sol lunaire par les soviétiques
• 1971-1975 : Lancements vers Mars des sondes soviétique Mars 2 à Mars 7 et des sondes américaines VIKING le 20/08/75 et le 9/09/75
• 1978 : Ensemble de missions américaines PIONEER-VENUS pour une étude poussée de Vénus.
• 24 janvier 1986 : VOYAGER 2 survole URANUS
• 14 mars 1986 : traversée de la comète de Halley par une sonde européenne GIOTTO lancée par Ariane sur étude de l'ESA. Giotto après avoir photographié Halley continuera vers une autre comète.
• 5 mai 1989 : Lancement par la navette Atlantis de la sonde MAGELLAN pour une cartographie radar de Vénus.
• Octobre 1990 : Lancement par la navette US de la sonde ULYSSES pour une étude des pôles du Soleil en novembre 94 et juillet 95. La trajectoire très fortement inclinée de 79° sur l'écliptique a utilisé un tremplin sur Jupiter
• Novembre 1995 : Lancement de la sonde SOHO placée à un des points de Lagrange du système Terre-Soleil, dans une situation idéale pour étudier le Soleil en continu.
• 1996 : Survol de Jupiter par la sonde GALILEO qui utilise 3 tremplins gravitationnels ( 2 sur la terre et 1 sur vénus ) et visite au passage deux astéroïdes IDA et GASPRA. Cette sonde avait été lancée en octobre 1989
• 7 février 1999 : Mission Star Dust de recueil de poussières interplanétaires le 15 janvier 2006. Projet de vérification
• 20 janvier 2003 : Lancement prévu de la sonde ROSETTA vers la comète P/Wirtanen atteinte en 2011. Il est prévu de poser un module sur le noyau de la comète. Mission avortée et remplacée par la suivante.
• 2 mars 2004 : Lancement par Ariane 5 de la sonde ROSETTA vers la comète Churyumov-Gerasimenko atteinte en 2015. Il est prévu de poser un module sur le noyau de la comète.
• 4 juillet 2005 : DEEP IMPACT ( http://www.nasa.gov/mission_pages/deepimpact/mission/index.html) Mission de la NASA réussie par une percussion à 38000 km/h d'une comète, afin d'étudier par les débris du choc, la composition du noyau d'une comète.
• Fin 2005 : VENUS EXPRESS, voir projet de vérification
• Janvier 2006 : La NASA envoie la sonde New Horizons vers Pluton pour une arrivée vers 2015

II PROBLEME DE LAMBERT :

Les données orbitales sur tous les corps du système solaire peuvent être récupérés auprès du bureau des longitudes, à l'adresse suivante : http://www.bdl.fr/serveur.html. Vous trouverez également sur ce site dans le répertoire EPHEMERI un pack, téléchargé auprès du BDL et contenant un logiciel sous DOS d'éphémérides de grande précision pour les planètes du système solaire. Exécutez par exemple planeph.exe après avoir consulté planeph.htm

1°) ENONCE DU PROBLEME :

L'hypothèse de travail est celle d'un potentiel newtonien à un seul corps attractif.

Le problème de Lambert consiste à déterminer une trajectoire képlérienne, qui relie deux points donnés P1 et P2, non alignés avec le centre attractif O, en un temps de vol fixé DT.

2°) RESULTAT :

C'est un problème avec conditions aux limites, admettant toujours au moins une solution elliptique ou hyperbolique, avec :

 Une seule solution à moins d'un tour, pour les orbites elliptiques et naturellement pour celles ne permettant pas deux tours, hyperbole ou parabole.

 Deux solutions pour le cas elliptique à plus d'un tour, lorsqu'il est possible.

NB : On dira que la trajectoire fait plus d'un tour lorsque l'orbite est parcourue au moins une fois en entier ( un tour ) avant de rejoindre la cible.

Le critère de séparation elliptique-hyperbolique porte sur la durée du voyage.

3°) FORMULATION GEOMETRIQUE :

Notons les données:

O le centre principal attractif

A, B les deux points de départ et d'arrivée du voyage

DT La durée imposée du voyage

a) REMARQUES INITIALES :

La donnée du centre attractif O et de deux points A et B, n'appartenant pas à un diamètre focal, permet de définir complètement le plan orbital OAB. Ceci équivaut à connaître l'inclinaison orbitale i et la longitude vernale W à 180° près.

Il reste donc 3 paramètres orbitaux à préciser: a, e, w, et les valeurs j_A et j_B de l'anomalie excentrique en A et B. La connaissance des deux coordonnées de A et B dans le plan orbital et la durée DT du voyage entre A et B sont donc suffisantes pour calculer 5 inconnues avec 5 équations.

b) APPROCHE GEOMETRIQUE :

Nous recherchons 2 inconnues, le second foyer F de la conique ( Ellipse ou hyperbole ), et son demi grand axe a_s, tels que soient satisfaites les relations:

ELLIPSE SOLUTION: AO+AF=BO+BF = 2a_s, ce qui équivaut à FA-FB=OB-OA >0 dans le cas de figure du dessin. Le foyer F appartient donc à une branche d'hyperbole ( la noire sur la figure ) définie par ses 2 foyers A et B et le grand axe 2a = OB-OA

Ou

HYPERBOLE SOLUTION: AO-AF = BO-BF= 2 a_s et aussi AO-AF = BO-BF= -2 a_s, ce qui donne dans les deux cas, FA-FB=OA-OB<0 et une seule interprétation: Le foyer F appartient donc à une branche d'hyperbole ( la bleue sur la figure ) définie par ses 2 foyers A et B et le grand axe 2a = OB-OA

Considérons le cas de la recherche, si elle existe, d'une solution elliptique. Alors à chaque position de F sur sa branche d'hyperbole, position donc repérée par un paramètre x, correspond une valeur a_s (x) du demi grand axe, et un temps de parcours de A à B, DT(x).

La solution cherchée, est celle qui répond au temps de parcours fixé par le problème de Lambert. On est donc ramené à la résolution d'une équation à une inconnue.

NB : Dans le cas d'une ellipse, on conçoit aisément que si le temps de parcours est trop petit, une solution elliptique n'est pas possible. Par contre pour l'hyperbole, elle existe toujours.

c) ROUTINES DE CALCUL :

Vous trouverez des exécutables, des unités et un programme source en Pascal résolvant le problème de Lambert dans le cadre des hypothèses simplifiées énoncées. Attention : ces programmes n'envisagent que les orbites de transfert elliptiques et à moins d'un tour. Voir ensemble des routines.

Une variable nommée CAS de 1 à 6 permet de préciser la trajectoire, à moins d'un tour.

Les programmes utiles sont :

BIPOS.TPU : unité générale, avec une procédure spéciale ELLIPSE2POINTS, donnant accès à de très nombreuses variables associées au vol interplanétaire.

FCTMARS.TPU : spécialement dédiée au transfert vers Mars

FCTVENUS.TPU : spécialement dédiée au transfert vers Vénus

FCTCOMET.TPU : spécialement dédiée au transfert vers la comète de Halley

DEUX_PTS.EXE, LAMBERT.EXE qui ne traitent que le cas elliptique et une routine générale LAMBERT1.EXE qui envisagent tous les types d'orbites y compris les vols elliptiques à plus d'un tour: exécutables du programme de Lambert

DATES.TPU : unité contenant des fonctions de traitement des dates

d) INFORMATION DE DERNIERE HEURE :

 Le problème de Lambert a été repris avec une autre formulation, conduisant à des calculs plus simples et une programmation plus conviviale. Le lecteur intéressé pourra consulter :

Le cours dédié à cette résolution : Voir ce cours

Se lancer dans un projet de mise en forme de cette résolution, avec des applications à des missions déjà réalisées ou à des missions futures comme la mission Rosetta.vers la comète Wirtanen( 2003-2011) Voir projet

Exécuter un programme très précis, avec sorties complètes sur écran ou écriture sur fichier texte. Lancer la routine elle se nomme LAMBERT1.EXE, le programme source en PASCAL se nomme LAMBERT1.PAS., naturellement seule l'application PASCAL pourra l'ouvrir ou alors comme fichier texte par NOTEPAD ou autre.

III HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES:

 Nous l'avions déjà souligné, dans la présentation des mouvements képlériens, sous l'action simultanée de plusieurs centres attractifs, le mouvement ne possède pas de solution exprimable analytiquement. Seule la simulation numérique permet de résoudre le problème.

En pratique, on a besoin de tester l'influence sur la trajectoire de tel ou tel paramètre, et surtout sans avoir recours dans un premier temps à une simulation numérique lourde. On est donc tenu de poser quelques simplifications.

1°) Hypothèse des sphères d'influence associées aux planètes :

Pour une présentation détaillée: voir COURS SUR LES MOUVEMENTS KEPLERIENS

Un voyage classique consiste :

1 - A partir d'une planète, jusqu'à ce jour la Terre

2 - A utiliser l'attraction principale du soleil, pour rejoindre la banlieue de la planète cible

3 - Manœuvrer pour se faire capturer par la planète visée et travailler en orbite autour d'elle ou "descendre" se poser sur le sol de cette planète, ou éventuellement utiliser cette planète comme tremplin gravifique.

4 - Dans ce dernier cas ,pour le moment non réalisé, il faut prévoir pour l'avenir :

a) De repartir

b) De revenir vers la terre

c) De se poser sur le sol terrestre

Rappelons quand même succinctement, que l'on peut considérer, dans le système solaire, que chaque planète est entourée d'une zone quasiment sphérique, " sa banlieue", ou mieux sa sphère d'influence telle que:

Dans la sphère d'influence, on néglige les autres attractions et on ne prend en compte que celle de la planète

Hors de la sphère d'influence, on ne conserve que l'attraction du corps principal, le soleil, en négligeant les autres actions.

NB : Indiquons que le rayon de la sphère d'influence de la terre est de l'ordre de 805 à 930000 km, suivant son mode de calcul.

2°) Comment faut-il, dans les calculs, comprendre cette hypothèse?

Au stade d'un avant projet, on procédera ainsi, en décomposant le voyage en trois étapes classiques essentielles et une quatrième à la demande:

  PHASE DE DEPART :

Dans la sphère d'influence de la planète de départ, temps de vol court moins de 1 jour:

- Trajectoire hyperbolique d'évasion

- Repère inertiel planétocentrique ( par exemple géocentrique équatorial), avec vitesses rapportées à la planète et distance à la planète.

- Corps principal unique et force attractive unique : la planète de départ

- Rayon de la sphère d'influence de la planète, considéré comme infini.

PHASE HELIOCENTRIQUE :

C'est la partie principale du voyage, de quelques mois à quelques années.

- Trajectoire en principe elliptique, mais rien ne s'oppose à ce qu'elle soit hyperbolique.

- Repère inertiel héliocentrique ( par exemple héliocentrique écliptique), avec vitesses rapportées au soleil et distance au soleil

- Corps principal unique le soleil, force attractive unique.

- La sphère d'influence des planètes ( départ et arrivée ), considérées comme infiniment petites et donc de rayon nul. C'est le premier stade de l'approximation.

  PHASE D'ARRIVEE :

Comme la "sonde" se présente à l'infini de la planète, la trajectoire d'arrivée est obligatoirement une conique à branche infinie, donc une hyperbole. La durée de cette phase est en général petite, moins de un jour, pour les planètes basses, sauf peut être pour Jupiter, avec une durée de l'ordre de 40 jours.

- Repère inertiel planétocentrique, avec vitesses rapportées à la planète et distance à la planète.

- Corps principal unique et force attractive unique : la planète d'arrivée

- Rayon de la sphère d'influence de la planète, considéré comme infini.

  MANOEUVRES:

Naturellement, au voisinage du périgée de l'hyperbole de descente vers la planète, on peut envisager différents scénarios:

- Un freinage et une insertion sur une orbite de travail elliptique, de période bien choisie pour correspondre à un phasage avec la terre 6, 12, ..., 48 heures, par exemple. Une telle manœuvre nécessite un moteur fonctionnant en rétrofusée.

- Une manœuvre identique à la précédente suivie d'une insertion en orbite circulaire basse, pour préparer une descente sur la surface de la planète ( si celle-ci le permet ). L'utilisation partielle ou totale de l'atmosphère ( si elle existe ) est donc possible, en parallèle avec un freinage contrôlé, motorisé.

- Un survol, éventuellement corrigé par des manœuvres intermédiaires, peut aussi conduire à une réinsertion dans le système solaire, soit pour gagner de la vitesse, soit pour changer de direction, et en général les deux. Une telle manœuvre est appelée TREMPLIN GRAVIFIQUE.

3°) Hypothèse sur les planètes :

Restant au niveau des approximations les plus grossières, bien qu'excellentes, on rajoute :

 Les planètes appartiennent ( à part Pluton) à l'écliptique, donc inclinaison orbitale nulle

 Les planètes sont sur des orbites circulaires, naturellement de centre le soleil. Donc excentricité nulle

3°) Méthode des coniques juxtaposées :( pour les projets informatiques réalistes)

On ne retient que l'hypothèse des sphères d'influence, de toute évidence incontournable pour des calculs à la main. On ne suppose pas le rayon des sphères d'influence nul.

Un voyage interplanétaire apparaît donc constitué de TROIS ARCS DE CONIQUE, dites JUXTAPOSEES

 Un ARC HYPERBOLIQUE d'évasion, au départ

 Un ARC ELLIPTIQUE DE TRANSITION d'une sphère à l'autre

 Un ARC HYPERBOLIQUE, de descente, à l'arrivée

Ces trois arcs se raccordent à la traversée des sphères d'influence, avec continuité de la tangente.

NB : Il ne faut pas être choqué par le fait que lors du changement de phase, la nature de la trajectoire change. C'est simplement le changement de repère de référence qui donne l'illusion, que brutalement la norme de la vitesse a changé.

IV TIR QUELCONQUE :

La libération de l'attraction terrestre nécessite une conique à branche infinie, qui ne peut donc être qu'une hyperbole puisque la parabole a une probabilité nulle d'exister.

1°) Rappels géométriques sur l'hyperbole :

Les dessins suivants explicitent et rappellent quelques propriétés élémentaires, sans démonstration:

O est le foyer actif, A le sommet. I est le point de concours des asymptote et centre de symétrie de l'hyperbole complète. La tangente au sommet en A à l'hyperbole coupe l'asymptote en K, tels que IO = IK = c demi distance focale.

 

Ci dessus, apparaissent:

 Dans le triangle AIK, les trois longueurs caractéristiques d'une conique, a, b, c, ( a est toujours la distance du centre à un sommet ). Pour l'hyperbole rappelons que c > a, e>1, avec c² = a² + b²

 Le demi angle d'ouverture b des asymptotes, qui jouera un rôle important dans le tremplin gravitationnel.

 distance du centre attractif à l'asymptote: = c sinb = a.e.sinb = b. Cette distance positionne l'asymptote par rapport à la Terre. Plus loin nous constaterons que vu du Soleil par exemple, le départ hyperbolique de la Terre apparaît comme une droite quasiment issue du centre de la Terre, comme si l'asymptote passait par O.

2°) Rappels théoriques :

On rappelle sans démonstration, les deux lois importantes des mouvements képlériens et le paramétrage classique, par une variable f non interprétable géométriquement.

Les notations devraient maintenant s'imposer, par analogie avec celles de l'ellipse.

R est le rayon vecteur r = OS, q l'angle polaire entre les vecteurs OI et OS, e l'excentricité

E est l'énergie spécifique positive sur l'hyperbole et K la constante des aires.

Une routine spéciale RV_PAR_H.EXE de source RV_PAR_H.PAS permet de calculer les paramètres orbitaux d'une hyperbole de tir connaissant la position et la vitesse.

 3°) PHASE DE DEPART D'UNE PLANETE :

Les hypothèses ont été posées plus haut.

On notera V_o ou V_oT la vitesse absolue de départ, Z_o ou Z_o l'altitude sol, correspondant à un rayon r_o ou r_oT . L'évasion demande, de toute évidence une vitesse de tir supérieure à la vitesse de libération.

La sonde s'éloigne de la terre, jusqu'à traverser sa sphère d'influence, considérée comme l'infini de la terre.

La vitesse est alors constante et portée par l'asymptote de l'hyperbole.

On l'appelle la vitesse à l'infini, notée

 Comment atteindre cette vitesse ?

Deux approches existent, dépendant de la nature du lanceur, par exemple ARIANE IV ou V ou la NAVETTE US.

 L'INJECTION DIRECTE réalisée par un troisième ou quatrième étage d'un lanceur, qui place la sonde interplanétaire directement sur son hyperbole de transfert, à l'issu de la combustion du dernier étage.

Les lanceurs français Ariane en sont capables ainsi que les fusées américaines Atlas.

 L'UTILISATION D'UNE ORBITE DE PARKING intermédiaire, généralement circulaire, mais ce n'est pas une obligation. Par exemple, la sonde GIOTTO avait été envoyée vers la comète de Halley, après avoir parcouru plusieurs révolutions sur une orbite GTO classique du lanceur Ariane.

Plus près de nous en 2003, la sonde SMART-1 destinée à une étude de la Lune utilise un parking GTO avec un transfert vers la lune réalisé par propulsion ionique au Xénon, selon une technique mise au point par la SNECMA.

Un moteur supplémentaire est donc nécessaire pour "décrocher" du parking et partir en "hyperbolique" vers une planète ou pour atteindre la lune.

 Quelle est la manœuvre la plus économique ?

Appelons Vc la vitesse sur le parking circulaire et Vo la vitesse de tir sur l'hyperbole. L' incrément de vitesse à délivrer est la différence vectorielle

De toute évidence le minimum de DV est obtenu lorsque Vc et Vo sont colinéaires et donc lorsque LE DEPART LE PLUS ECONOMIQUE EST AU PERIGEE DE L'HYPERBOLE. Nous supposerons qu'il en est ainsi, bien que ce ne soit pas une obligation.

 Notions liées à l'évasion ?

Tout d'abord, il apparaît que la direction de la vitesse à l'infinie de sortie de la sphère d'influence est capitale. Elle est caractérisée par:

 Son module calculable par:

 Sa direction, donnée par l'asymptote et caractérisée par un unitaire, un angle, une distance:

NB: en pratique le point d'injection et les conditions de tir fixent la direction par 2 angles, une déclinaison et une ascension droite dans le géocentrique équatorial. 

 On constate que l'énergie E sur une hyperbole et la vitesse à l'infini sont étroitement liées. Plus loin dans l'étude du tremplin gravitationnel, on verra que E joue encore un rôle capital. De plus E représente très bien les capacités d'un lanceur à mettre en évasion et créer une vitesse à l'infini pour une certaine masse utile.

Les ingénieurs ont alors introduit une caractéristique simple appelée C3.

Le "MANUEL UTILISATEUR" ( M.U.A ) d'un lanceur donne en général la courbe des performances C3 en fonction de Mu, la masse utile envoyée et de certains autres paramètres, notamment la déclinaison de la vitesse à l'infini. Ci-dessous la performance de ARIANE 5 ECA.

 Tirs "montants" ou "descendants" :

Il est facile de se convaincre que:

• Pour visiter des planètes plus basses que la Terre Vénus ou Mercure), il faut "descendre" par rapport au Soleil, donc être moins énergétique, ce qui demande de placer la vitesse à l'infini dans une direction plutôt opposée à la vitesse de la Terre.
• Pour "monter" et visiter les planètes plus "hautes" que la Terre (Mars, Jupiter, etc...), il faut augmenter l'énergie et donc profiter au mieux de la vitesse de la Terre. On placera donc la vitesse à l'infini plutôt dans le sens de celle de la terre.

 CARACTERISATION CLASSIQUE DE LA VITESSE A L'INFINI DE DEPART :

A l'instant de passer dans le repère héliocentrique, il faut imaginer que le vecteur vitesse à l'infini est vu depuis le centre du Soleil, et donc, avec un changement d'échelle de distance. L'asymptote de l'hyperbole est située à quelques dizaines de milliers de km du centre Terre, ce qui est infime devant l'unité astronomique. On considère donc, que le vecteur vitesse infini vu du Soleil est issu du centre Terre, et on caractérise ce vecteur de 3 façons possibles, illustrées par exemple avec la mission américaine Star Dust ( Lancement 7/1/1999 capture poussières cométaires en janvier v2004 retour Terre en janvier 2006 ) soit :

a.     Dans IJK : norme ou C3, déclinaison et ascension droite (

C3 = 26 km²/s² ou norme(Vitesse )= 5.099 km/s, d = -19°.5 , a = 234°.62 le 6/2/1999.

b.     Par ses composantes géocentriques dans IJK de J2000 :

c.     Par ses composantes dans le repère héliocentrique écliptique XYZ de J2000

On notera, que ce tir est dans l'écliptique.

4°) PHASE HELIOCENTRIQUE :

Les hypothèses ont été posées plus haut.

On rappelle qu'une sphère d'influence de planète possède, dans le système solaire, un rayon négligeable devant la distance au soleil ( à part peut être Jupiter ). On fait donc l'approximation que devant la distance Soleil-planète ce rayon est nul, ce qui revient à négliger le chemin parcouru dans la phase de départ.

a) Conditions initiales d'entrée dans le système solaire:

Dans le cas très général, il faut calculer tous les paramètres d'injection avec précision, grâce à la connaissance du rayon vecteur et du vecteur vitesse. Nous ne le ferons pas dans ce chapitre.

Nous contenterons d'un vol dans l'écliptique pour illustrer ce cours.

• Position r_os: r_os = distance Terre-Soleil ou Planète-Soleil en général. Le plus souvent r_os =ST = 149.6 10⁶ km
• Vitesse héliocentrique Vos: la composition des vitesses de la mécanique classique indique que la vitesse héliocentrique de la sonde s'obtient par :

Pour un départ depuis la terre, la norme de la vitesse d'entraînement Vp = V_T est de l'ordre de 30 km/s, très exactement, à 149.6 millions de km elle vaut 29.783 km/s. On constate donc immédiatement un changement d'ordre de grandeur des vitesses pratiquées.

Remarque : en pratique seules les orbites elliptiques sont visées, imposant donc à la sonde une vitesse Vos inférieure à la vitesse de libération par rapport au soleil, vitesse qui vaut 42.12 km/s au niveau de la terre. Ainsi Vos < 42.12 km/s

• Angle de tir gos: la vitesse à l'infini est supposée repérée par son vecteur unitaire, par rapport à V_T, ainsi l'angle Y est connu. Le triangle des vitesses fournit sans difficulté l'angle de tir. On veillera cependant à bien préciser le signe de cet angle, suivant qu'au départ "on monte" ou "on descend".

 

b) Transfert héliocentrique:

La connaissance des conditions initiales dans le plan de tir permet le calcul de tous les éléments caractéristiques de la trajectoire, du moins sur sa forme, soit avec des notations bien connues :E, K, a, e, T, r_p, r_a etc...Nous renvoyons le lecteur au cours de base sur les mouvements képlériens.

Un calcul intéressant en pratique est celui du temps de vol sur le transfert, représentant avec une excellente approximation la durée du voyage interplanétaire. Il est classique, utilisant en général deux fois le calcul de l'anomalie excentrique des deux points de départ et d'arrivée.

Intéressantes aussi, les conditions de croisement de la sonde et de la planète visée, à la limite de la sphère d'influence de la planète. Rappelons que nous pouvons considérer le rayon de cette sphère comme nul, et donc prendre comme position de croisement celle de la planète sur son orbite supposée circulaire.

La figure suivante illustre le propos, montrant en noir la trajectoire planète, en rouge le transfert interplanétaire , en bleu l'orbite de la Terre. Le cas envisagé est celui d'une montée vers une planète haute.

NB : On retiendra qu'en pratique, pour les tirs habituels, au moment de la rencontre, la planète et la sonde ont des vitesses du même ordre de grandeur.

Au moment de la rencontre, la vitesse de la sonde est V_S1, sa distance au Soleil est le rayon orbital planète r_p et l'angle sous lequel se coupent les trajectoires g_1S. il n'y a aucune difficulté à calculer la vitesse et l'angle, en utilisant la conservation de l'énergie et la loi des aires.

La dernière ligne donne la vitesse relative d'arrivée, vue de la planète, considérée comme vitesse d'entrée dans la sphère d'influence de la planète et aussi donc comme vitesse à l'infini indexée par 1 pour l'entrée ( elle le sera par 2 pour une sortie éventuelle de la sphère d'influence )

5°) PHASE D'ARRIVEE :

Les hypothèses ont été fixées plus haut.

La sonde pénètre dans la sphère d'influence, qui à l'échelle des dimensions de la planète, est son infini. Donc la trajectoire képlérienne d'entrée possède une branche infinie et ne peut donc qu'être une hyperbole. Cette remarque permet donc d'affirmer que, sans moteur de freinage ou sans freinage atmosphérique, une capture de la sonde par la planète est impossible. Ceci explique que le nombre de nos satellites, autour de la terre soit limité à un, la plupart des corps venant du système solaire ayant soit percuté la terre soit brûlé dans son atmosphère, soit atteint le sol comme le font les débris météoritiques. Notre environnement est donc peu encombré de débris ( à part ceux de nos satellites )

Plusieurs possibilités sont offertes à la sonde, dépendant de la mission.

• Etude longue de la planète : une insertion en orbite elliptique ou circulaire est donc nécessaire et demande l'utilisation d'un moteur de freinage, fonctionnant en rétrofusée en ou plusieurs étapes, la première devant conduire à une capture initiale. En général le freinage est réalisé au périgée de l'hyperbole de descente. Seule la vitesse au périgée est utile, le reste des manœuvres devant maintenant être familier au lecteur. Eventuellement une descente jusqu'au sol est possible avec des modules additionnels.

• Etude de courte durée de l'atmosphère éventuelle: Il faut alors prévoir un périgée très près de la planète, entraînant une traversée des couches atmosphériques. Ces expériences ont été souvent réalisées et le sont encore, mais uniquement pour les géantes gazeuses.
• Rentrée atmosphérique : Par exemple mars pourrait être une planète candidate à une telle arrivée. L'atmosphère est alors utilisée pour un freinage passif sans consommation de carburant. L'étude est analogue à celle d'une rentrée atmosphérique terrestre.
• Réalisation d'un tremplin : La planète est alors survolée sans freinage d'aucune sorte, l'hyperbole est décrite en entier, la deuxième branche assurant la sortie de la sphère d'influence de la planète avec réinsertion dans le système solaire. Un échange d'énergie, via l'interaction mutuelle de gravitation, s'opère entre la planète ( insensible ) et la sonde ( très sensible ), qui voit ses paramètres orbitaux modifiés. Ce cas fait l'objet d'un chapitre particulier, tant est grande l'importance de cette technique de plus en plus utilisée de nos jours.

V TIR DE TYPE HOHMANN :

Walter Hohmann , architecte allemand, a effectué les premiers calculs détaillés de trajectoires reliant deux planètes, à partir des simplifications présentées plus haut.

Le tir imaginé par Hohmann a le mérite de poser très simplement les bases d'un voyage interplanétaire simple.

1°) DESCRIPTIF DU TIR :

Hohmann a démontré que si le rapport du grand rayon au petit rayon est inférieur à 15.6, le transfert héliocentrique le plus économique pour aller d'une planète à une autre, celles-ci étant sur des orbites supposées circulaires et coplanaires, était d'utiliser une ORBITE ELLIPTIQUE BITANGENTE AUX ORBITES DES PLANETES.

2°) PROPRIETES DU TIR :

a₁ = SS₁, a₂ = SS₂

La figure ci-dessus montre clairement que le tir doit satisfaire à des conditions initiales précises :

 INSTANT DE TIR UNIQUE : En effet la donnée des deux planètes et de leur rayon orbital, fixe le demi grand axe a_h de l'orbite de Hohmann. La durée du voyage, égale à une demi période est donc imposée, et c'est naturellement le temps que doit mettre la planète cible, initialement en P₁, pour rejoindre le point de rendez-vous en S₂. Il est donc nécessaire d'attendre une configuration particulière des planètes, au moment du départ et donc un angle a unique, correspondant à une date bien définie.

 REPETITIVITE DU TIR :

On comprend bien qu'un nouveau tir ne peut avoir lieu que si l'angle a = P₁SS₁ retrouve sa valeur, ce qui n'impliquent pas que les planètes soient au même endroit que lors du tir précédent.

Chaque planète à une période T₁ ou T₂

Le lecteur démontrera sans peine que la période synodique de répétitivité, ou encore le temps minimum séparant deux fenêtres de tir est

 

Le tableau ci-dessous vous incitera à vérifier les valeurs de cette période.

 

 VITESSES :

Les vitesses héliocentriques VS1 et VS2, de départ et d'arrivée, à la limite des sphères d'influence respectives, sont également fixées. De plus ces vitesses sont colinéaires aux vitesses des planètes, ce qui suppose une trajectoire d'évasion hyperbolique, qui place la vitesse de sortie de la sphère d'influence, colinéaire à celle de la planète de départ.

 DEPART PRES DE LA TERRE :

Le lecteur se convaincra que la vitesse à atteindre à une altitude basse donnée près de la terre a une valeur très précise.

3°) Ordres de grandeur :

Les planètes les plus visitées sont Vénus, Mars et Jupiter. Dans le futur, la recherche de formes exotiques de vie, poussera certainement l'homme à s'intéresser à des corps célestes moins connus. Dans l'immédiat c'est certainement Mars qui accueillera la première colonie humaine. Donnons donc quelques informations sur un tir d'Hohmann vers Mars.

 Périodicité des tirs T_synodique = 2.137 ans

 Derniers et futurs tirs possibles : 21/10/94, 3/12/96, 1/2/99, 14/4/2001, 16/6/2003

 Vitesse héliocentrique de départ Vs1 = 32.73 km/s

 Vitesse à l'infini de départ 2.94 km/s

 Vitesse de tir à 422 km du sol terrestre Vo = 11.22 km/s

 Durée du voyage de Hohmann 259 jours

Pour Vénus, à la même altitude la vitesse Vo serait un peu plus petite et vaudrait 11.11 km/s

Pour Jupiter le tir demande beaucoup plus d'énergie et Vo=13.95 km/s.

Résumons ci-dessous, avec un tir conventionnel au niveau du sol terrestre, les vitesses de départ à l'infini de la terre d'arrivée à l'infini de la planèteet

 

4°) Tir réel à énergie minimale :

Vues des remarques faites plus haut, pour "monter" ou "descendre" de manière optimale, c'est à dire atteindre les planètes soit à l'apogée , soit au périgée, il faut PLACER LA VITESSE A L'INFINI ET CELLE DE LA TERRE DANS LE MÊME SENS OU EN SENS CONTRAIRE.

En réalité les orbites des planètes ne sont ni exactement circulaires, ni toutes dans l'écliptique. On peut quand même s'intéresser à un tir d'énergie minimale permettant de joindre les deux planètes. L'étude demande des moyens de calcul et conduit à envisager un transfert incliné sur l'écliptique. Il y a donc un petit surcoût de vitesse, mais relativement minime de l'ordre de 50 m/s.

V TREMPLIN GRAVITATIONNEL

1°) ETUDE GENERALE DU TREMPLIN :

Nous étudions avec plus de précision le cas de survol de la planète avec un périgée suffisamment élevé pour éviter une percussion avec la planète.

NB 1: Ce réglage de l'altitude du périgée est réalisé, dans les dernières heures de l'approche, hors sphère d'influence, pour bien "caler" le point d'entrée dans la sphère d'influence de la planète?. Actuellement la précision de survol est meilleure que le km.

NB 1: APPROXIMATION D'INSTANTANEITE: Dans les calculs qui suivent, nous supposons que le tremplin est suffisamment rapide pour admettre que la planète ne s'est pas déplacée. On suppose donc le phénomène instantané. Plus loin, je reviendrais sur ce point, pour donner une notion plus nette du tremplin. Voir additif.

La figure qui suit montre bien la géométrie du survol : l'indice 1 ou a est réservé à l'entrée, l'indice 2 ou d est réservé à la sortie ou encore départ de la planète. Les calculs sont opérés au niveau de la sphère d'influence.

Un peu plus loin, on distinguera le survol passant "par derrière" la planète et le survol passant "par devant" la planète. Les effets sont très distincts et dépendent du but poursuivi. Ici, survol arrière.

 Le lecteur établira sans peine les relations suivantes, approchées mais excellentes. On suppose simplement connues les conditions de survol suivantes : vitesse à l'infini d'entrée et rayon vecteur au périgée.

NB: Seule l'énergie spécifique est très légèrement approximée.

Un calcul intéressant est celui de l'incrément de vitesse DV qui permet de modifier la vitesse de la sonde. On l'appellera "effet de tremplin", avec divers qualificatifs possibles :

• Tremplin gravitationnel
• Tremplin gravifique
• Assistance gravitationnelle
• Swing-by

La figure suivante ramène tous les vecteurs en jeu à une même origine, notamment en faisant "glisser" les vitesses à l'infini chacune le long de leur asymptote respective.

b désigne le demi angle d'ouverture de ces asymptotes.

Ainsi de manière explicite, apparaît le vecteur DV.

dont la norme se calcule facilement grâce aux relations suivantes:

Finalement l'assistance gravitationnelle fournit à la sonde un incrément de vitesse DV qui vaut :

La figure ci-dessous montre un survol par l'avant. Le lecteur attentif, observant les deux typ0es de survol, se convaincra aisément des conséquences évidentes :

• Un survol avec contournement arrière amènera une sortie par l'avant dans le sens du mouvement de la planète, un peu comme un relais cycliste. Il se produit donc une augmentation de la vitesse et un gain d'énergie se retrouvant sur le grand axe et l'apogée en particulier. Ce genre de tremplin est utilisé pour gagner de l'énergie. Voir la MISSION GALILEO.
• Un survol avec passage devant la planète va donner une sortie de la sphère d'influence, plutôt vers l'arrière. Il en résulte une vitesse de sortie V_S2 faisant un angle important avec celle d'entrée V_S1, d'où un changement important de direction mais sans gain de vitesse, quelquefois d'ailleurs avec perte en module. Ce genre de tremplin est utilisé pour courber de manière importante et sans consommation d'ergols la trajectoire. Voir la MISSION PIONEER.

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EXEMPLES : deux missions déjà réalisées illustrent bien la notion de tremplin. Vous vivrez la troisième dans un futur proche, avec ROSETTA:

MISSION GALILEO :

La sonde Galiléo avait été prévue pour une mise en orbite circumterrestre par une Navette. Un moteur LH2+LO2 devait assurer , en tant qu'étage supplémentaire, la libération de l'attraction terrestre et une vitesse à l'infini suffisante pour atteindre directement Jupiter.

L'explosion de Challenger a amené les US à interdire le transport en soute de tout moteur LH2+LO2. La mission aurait pu paraître impossible mais c'était sans compter avec l'intelligence du JPL. Il a donc été envisagé la mission VEEGA ( Vénus Earth Earth Gaspra Arrival ):

• Lancement vers Vénus sur une orbite C1, pour un premier tremplin survol arrière donnant un gain de vitesse.
• L'orbite C2 qui en résulte revient vers la Terre, survolée par l'arrière pour un nouveau tremplin augmentant l'énergie, de telle manière que la période sur la nouvelle orbite C3 soit exactement 2 ans. Au passage dans la ceinture d'astéroïdes, Gaspra est photographié.
• L'orbite C3 retrouve donc la Terre 2 ans après au même endroit, pour un nouveau tremplin avec survol arrière. Le gain de vitesse est alors suffisant pour, sur C4, atteindre Jupiter. Au passage à nouveau dans la ceinture d'astéroïdes, IDA est survolé.

MISSION PIONEER 11 :

A l'époque, aucun lanceur ne pouvait effectuer un tir direct vers une planète plus haute que Jupiter, ce qui demandait une vitesse à l'infini trop importante.

La configuration géométrique des planètes permettant de visiter toutes celles plus hautes que Jupiter, en un seul voyage, ne se reproduit que tous les 189 années.

 MISSIONS VOYAGER 1 & 2 :

VOYAGER 1 : Départ Terre le 5/9/1977, survol de Jupiter et tremplin le 5/3/1979, tremplin sur Saturne le 12/11/1980

VOYAGER : Départ Terre le 20/8/1977, survol de Jupiter et tremplin le 9/7/1979, tremplin sur Saturne le 26/8/1981, tremplin sur Uranus le 24/1/1986 et survol de Neptune le 24/8/1989

         MISSION ROSETTA : Voir le projet associé à Rosetta à BUT : Etudier in situ la comète P/WIRTANEN, en se posant sur son noyau. Cette mission a été réorientée vers une autre comète à 67P CHURYUMOV-GERASIMENKO

   DOCUMENTS CNES CONCERNANT ROSETTA ( nouvelle mission ) :

Le CNES pardonnera certainement cet emprunt recueilli sur leur site du CNES et concernant Rosetta. L'animation est tellement bien faite, pour illustrer les tremplins gravitationnels, que je n'ai pu m'empêcher de recopier le document.

Lancer l'animation :

 Lien vers des renseignements sur la comète

Voir aussi : | Nouvelles de Rosetta | Portail pour Rosetta | Une bonne synthèse d'un passioné Gilbert Javaux |

MOYENS : Un peu comme Galiléo, la mission comportera 3 tremplins gravifiques, un sur Mars et deux consécutifs sur la TERRE. Le tir serait effectué par notre lanceur ARIANE V en janvier 2003, pour une conclusion de l'expérience en 2011, 9 ans après, et surtout à faible coût énergétique. Le rendez-vous est prévu à 4.78 UA du Soleil, ce qui équivaut presque au rayon orbital de Jupiter.

Ci-dessous des sources de renseignements ( relevées en décembre 2000)

http://www.cnes.fr/activities/connaissance/planetes/rosetta/1sommaire_rosetta.htm

http://sci.esa.int/rosetta/ et http://www.esoc.esa.de/

http://www.cnes.fr/activities/1index.htm

http://jmm45.free.fr/sondes/rosetta/rosetta.htm

http://www-projet.cst.cnes.fr:8060/ROSETTA/Fr/MissionObjectives.html

http://planetary.so.estec.esa.nl/RSOC ( Vraiment excellent pour alimenter le projet en données numériques sur les positions et vitesses, ou prendre des contacts pour de plus amples renseignements). Les données numériques de certaines étapes de la mission, ont été récupérées sur ce site et placées dans les fichiers textes, Rosetta0.txt, Rosetta1.txt, Rosetta2.txt, Rosetta3.txt, Rosetta4-1.txt, Rosetta4-2.txt, Rosetta5.txt, Rosetta6.txt, Rosetta7-1.txt, Rosetta7-2.txt, fichiers qu'il vaut mieux exploiter en tant que fichiers textes avec Notepad par exemple. Le site devrait s'enrichir d'autres données, comme il y est indiqué en préambule.

http://193.48.190/ephem/animephem/Wirtanen/Wirtanen_src.html

http://nssdc.gsfc.nasa.gov/nmc/tmp/ROSETTA.html ( Intéressant pour les astéroïdes et des contacts pour renseignements )

REMARQUE : Vous trouverez les compléments nécessaires à ce cours dans" MECANIQUE SPATIALE" Tome II de J P CARROU CNES ( Editions Cépaduès )

2°) TREMPLIN INTERMEDIAIRE( sans manœuvre) ENTRE UNE ORIGINE ET UNE CIBLE:

Les missions futures utiliserons au maximum les tremplins gravitationnels pour emporter une masse scientifique maximale avec une vitesse initiale de tir minimale.

PROBLEME: On suppose qu'une étude préliminaire a permis de choisir une planète intermédiaire P1 servant de tremplin à la date T1 inconnue, entre une planète Po dont le départ est programmé à la date To fixée et une planète P1 dont l'arrivée est prévue fixée à la date T1. Le tremplin doit être entièrement balistique, c'est à dire sans correction notable de trajectoire, sauf naturellement celles qui permettent de suivre la route "nominale" mathématiquement calculée.

QUESTIONS:

1.     La mission est-elle possible ? Si oui, quel est le périgée à viser ?

2.     Le lanceur en est-il capable?

REPONSES :

Question1

a) Nous connaissons la position et la date de départ To fixée, la position et la date d'arrivée T1 inconnue, pour aller de Po à P1, c'est un problème de Lambert que l'on sait résoudre et qui donnera entre autre la vitesse à l'infini d'arrivée.

b) Nous connaissons la position et la date de départ T1 inconnue, la position et la date d'arrivée T2 fixée, pour aller de P1 à P2, c'est un problème de Lambert que l'on sait résoudre et qui donnera entre autre la vitesse à l'infini de départ.

Pour qu'un tremplin existe il doit satisfaire à 2 conditions :

(C1) : Egalité en norme des vitesses à l'infini sur chaque conique de part et d'autre de P1
(C2) : Le rayon vecteur du périgée de l'hyperbole de survol doit être supérieur à une valeur fixée par les contraintes de la mission	Rp > (Rp)min
(C3) : La constante C3 du tir depuis la planète Po doit être inférieure à une valeur qui dépend du lanceur, de la charge utile et de l'orientation de la vitesse à l'infini à réaliser au sortir de la sphère Po	C3 < (C3)max

La réponse à la condition (C1) demande un balayage sur le temps T1 afin de trouver la date exacte convenable.

Une fois cette date trouvée, il faut étudier finement le survol pour calculer le périgée de l'hyperbole "à viser", afin de vérifier (C2). C'est l'objet du petit calcul théorique suivant

THEORIE : Comment calculer le rayon vecteur du périgée connaissant les vitesses à l'infini d'entrée et de sortie. On notera Rsph le rayon de la sphère d'influence de P1.

Le lecteur établira avec l'unitaire du périgée noté Up :

Donnant ainsi le rayon vecteur du périgée avec la seule connaissance des vitesses à l'infini d'entrée et de sortie de la sphère d'influence de P1.

On pourra donc déduire sans peine si la condition (C2) est satisfaite.

Quant à la condition C3 il faut se reporter au MU ( Manuel Utilisateur )

ADDITIF CORRECTEUR :

t1 est la date d'entrée dans la sphère d'influence de la planète et t2 celle de sortie. L'excellente façon exacte de calculer le tremplin gravitationnel est naturellement de faire la différence des vitesses héliocentriques de la sonde entre la sortie et l'entrée de la sphère d'influence. Ce qui donne :

NB : Pour la terre utilisée comme cible swing-by, avec une vitesse de 30 km/s environ et un survol hyperbolique de 2 jours en moyenne, l'écart DV_T peut atteindre 1 km/s.

AUTRE POINT DE VUE SUR LE CALCUL DE LA VITESSE INFINIE DE SORTIE :

Le lecteur pourra se convaincre grâce à la figure du résultat suivant, permettant de calculer la vitesse infinie de sortie connaissant celle d'entrée et le point d'entrée.

La vitesse infinie d'arrivée est supposée connue, ainsi que le rayon périgée Rp. Ceci fixe l'excentricité e, le demi grand axe a et le demi angle F d'ouverture des asymptotes.

Le lecteur aura compris qu'en fixant le périgée, on fixe la distance du centre attractif de la Terre O à une asymptote

Le problème du tremplin consiste à bien choisir le point d'entrée dans la sphère d'influence, pour obtenir le périgée désiré.

Vu de l'extérieur de la sphère d'influence pour une altitude donnée, il faut viser un point situé sur un cercle de centre O et de rayon Doo, comme le montre le dessin ci-dessous, complétant le précédent:

La figure illustre le propos.

En faisant varier y de 0 à 360°, on balaie toutes les possibilités de survol à Rp fixé, en changeant de point d'entrée E, sur le cercle en pointillé. Avec Rp et y on a donc toutes les éventualités pour bien "caler" la vitesse infinie de sortie, en fonction du résultat souhaité, encore faut-il que ce soit possible.

VII TROISIEME VITESSE COSMIQUE

On appelle ainsi, une vitesse de tir conventionnelle, à partir du sol terrestre, permettant tout à la fois de se libérer de l'attraction terrestre, puis une fois franchies les limites de la sphère d'influence de la terre, de se libérer de l'attraction solaire. Une telle mission permettrait une "visite" dans notre galaxie.

Le lecteur curieux effectuera les calculs ( faciles ) qui fournissent une vitesse à l'infini de 12.34 km/s et la troisième vitesse cosmique à V3 = 16.65 km/s environ. Ce n'est pas énorme et accessible à nos technologies actuelles, pour des masses modestes de quelques centaines de kg.

VIII DERNIERES ACTUALITES :

MISSION MARS 2012 : Bien sur tout le monde en parle, surtout du robot Curiosity déjà à l'œuvre et rapportant de magnifiques images et relançant le problème de l'existence passée et actuelle de l'eau à la surface de Mars.

Voir | NASA | La mission au format PDF ( source NASA ) | Premières analyses du sol | Confirmation d'une existence passée d'eau sur Mars | ….

MISSION NEW HORIZONS :

Sites d'entrée 

http://pluto.jhuapl.edu/mission/mission_timeline.html

http://www.nasa.gov/mission_pages/newhorizons/main/index.html

Pour les compteurs de la mission : http://pluto.jhuapl.edu/index.php

Excellente illustration d'un tremplin gravitationnel sur Jupiter.

La sonde lancée le 19 janvier 2006, 45 mn après le décollage elle atteignait une vitesse de 55000 km/h ( dixit les articles classiques ) et parvenait au niveau lunaire en 9 h et à celui de Mars en 6 mois.

Actuellement 10 septembre 2007 à 16 h 20 mn heure française, elle vole depuis 598 jours et 19 h 20 mn.

Elle atteindra Pluton en 2015, dans 2863 jours et 21 h 40 mn.

Elle a survolé Jupiter le 23 février 2007 à 23 km/s lors de son passage au périgée hyperbolique à environ 32 rayons planétaires de Jupiter.

NB: avec les outils présents sur ce site, il est aisé de retrouver nombre de résultats de cette mission et d'en faire un problème intéressant.

CASSINI-HUYGHENS vers Saturne et Titan

Mission débutant le 13 octobre 1997 et devant se terminer le 1 juillet 2008 :http://www.educreuse23.ac-limoges.fr/loewy/realisations/systsol/missions_futures.htm#La%20mission%20Cassini-Huygens

VENUS EXPRESS étudie en ce moment la planète Vénus.

POINTS DE LAGRANGE ET AUTOROUTES DE L'ESPACE :

L'époque actuelle est celle de la grande exploration systématique de tous les corps du système solaire. Pour les planètes proches ce travail a déjà commencé il y a longtemps, avec des vitesses de lancement acceptables. Pour les plus lointaines, depuis quelques années, on a recours à un ou plusieurs tremplins gravitationnels pour y parvenir ( En clair on "vole" un peu d'énergie à une planète, pour économiser du carburant et gagner en masse utile ).

La gravitation à 2 corps est relativement aisée à maîtriser, à 3 corps le casse tête n'est pas encore apprivoisé. Mais des mécaniciens-mathématiciens subtils continuent, par des méthodes utilisant l'espace des phases à 6 dimensions ( vitesse et position ) à mieux cerner les trajectoires interplanétaires faisant intervenir 3 corps. Les points de Lagrange y jouent alors un rôle capital.

Le sujet étant très délicat et ne voulant pas recopier un article de Pour la Science de mai 2007, je vous renvoie à ce dernier intitulé : LES AUROUTES DE L'ESPACE où il est question des futurs voyages interplanétaires à basse vitesse de lancement.

 

Guiziou Robert décembre 2000, revu 2001, septembre 2002, décembre 2004, juillet 2005,janvier 2006,Septembre 2007, sept 2011